19世纪时，出现了所谓的“数学怪物”。德国数学家魏尔施特拉斯(Weierstrass)发现了一条奇怪的曲线，这条曲线处处连续，却没有一处可以用笔画出，因为线上的任一点的变化率都不存在，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画。意大利数学家皮亚诺(Peano)则发现了一条能填满正方形的曲线。这些都与人们原先对数学的认识大相径庭。

古典的欧氏几何久负盛名，现在学校里学的平面几何就是欧氏几何。但是，这个已经流传了2000多年的经典理论体系，如今却面临着动摇的危险，因为经证明它在某种意义上是“错误的”。比如，与欧氏几何不同的所谓非欧几何告诉我们，在弯曲空间里，毕达哥拉斯定理是错误的，而我们所处的时空处处都是弯曲的——虽然只是轻微的，这是广义相对论告诉我们的事实。这也就说明，我们所学的平面几何在某种意义上并不适用于我们存在的这个世界。

19世纪后期，数学看起来更像是一个由相关事实交织成的一个纷杂的网络，而不是我们认为的一座在坚实地基上精心建造的大厦。这个网络存在许多问题，其中之一就是它通常导致循环论证，比如“因为Y真，所以X真”和“因为X真，所以Y真”。逻辑学家往往认为这种循环论证是无效的。

为了避免这种无效的证明，数学家开展了一项伟大的工作，他们要为数学大楼建造一个坚固的地基。这个地基就是最基本的、不证自明的定理，称作“公理”。

我们来举一个例子。皮亚诺提出了一条有关数字的最简单的公理，即任何数字后都有另一个数字。简单来讲，这相当于，如果“n”是一个数字，那么“n+1”也是。如果你认为这个说法是显而易见的，就证明了皮亚诺把这当成公理是对的。不显而易见的断言决不会被视作公理。

提出这种不证自明的主张似乎是件很容易的事情，事实并非如此。例如，我们可以把所有数学元素放在一个叫作“所有集”的集合中，这看起来就是不证自明的。然而，1901年时，伟大的逻辑学家伯特兰·罗素(Bertrand Russel)却证明，把这个事实作为一个真理，会在数学领域产生一个灾难性的悖论。这就是著名的罗素悖论。

罗素悖论的提出，被认为是数学史上的第三次数学危机。

今天的数学大都建立在德国数学家策梅洛(Zermelo)和弗伦克尔(Fraenkel)提出的集合相关理论的基础上，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学整个基本结构的有效性的怀疑。