只要代数同几何分道扬镳，我们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。但是，当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸收对方的新鲜活力，并迅速地趋于完善。

——约瑟夫·拉格朗日(Joseph Lagrange)

当欧氏几何走到了头

17世纪早期，尽管科学在各个领域有了重大突破，但是数学还只有一个几何体系，就是根据古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》创立的经典平面几何体系。这个体系仅适用于由直线和圆组成的图形。这时候的代数，不过是几何的附属品。

然而，随着人们对科学的不断深入探索，许多新的奇形怪状的图形相继出现，这些都没有办法通过欧氏几何理论进行分析。比如，为了描述天体运行的轨道，天文学家绘制了椭圆、双曲线、抛物线，其中抛物线也很好地勾勒出炮弹出膛后的运动轨迹；在海上航行时人们常常借助月亮来判定方位，因此人们迫切需要了解月球的运行轨迹和规律；望远镜和显微镜的发明，使透镜走进了人们的视野，但是人们对透镜的性质和参数却完全没有概念，比如说透镜表面应该是做成什么样，才能有最好的光线会聚性能?

要解决这些问题，需要了解曲线的概念和定量分析方法。但是欧几里得没有提出任何有关曲线问题的解决方法，古希腊人在圆锥曲线(平面与圆锥体相交得到的曲线)方面留下的著述也非常少。没有可以参考的方法，这是当时的数学家所面临的困境，数学方法的落后甚至妨碍到了整个科学的发展。

这时，有一位法国数学家率先站了出来，明确地表示了对欧氏几何那套方法的强烈不满。欧几里得的《几何原本》里提到的每一个问题，证明过程都需要一个新颖、奇巧的方法，不但过于抽象，而且多依赖于图形，甚至需要解题者具有非凡的想象力。古希腊数学家虽然在研究数学问题上花费了大量的时间，却从不考虑它们的实际应用问题。他直接抨击欧氏几何“成了一门充满混乱和晦涩、有意用来阻碍思想的记忆，而不是一门有益于思想发展的艺术”。

这位数学家，就是勒内·笛卡尔(Rene Descartes)。1637年，他发表了著作《方法论》。在一篇叫作《几何学》的附录中。他提出了一种不依赖于图形也更为普遍的方法，这就是将代数应用于几何，把几何和代数中的精华部分结合起来，互相以长补短，我们称之为“解析几何”。