解析几何因为它的简单而格外引人注目。就像数学中所有真正伟大的东西一样，解析几何的基本概念简单到近乎一目了然的地步。这个基本概念就是坐标系。

几何中最简单的图形是直线，直线很容易理解，也很容易描述，笛卡尔就想办法用直线来表示曲线。在平面上放置两条相互垂直的直线，以相交的位置作为原点，指定这两条直线的方向，画上刻度，就建立起了笛卡尔平面直角坐标系。对于坐标系内的某一个点，我们可以用一对数字来表示(x,y),用正负号表示它具体位于原点的哪一侧，x和y分别表示它在两个方向上离开原点的距离。这对数字，我们称为“坐标”。

比如，一座城市的地图上，大道从南到北按数字分成1大道、2大道、3道……街由东向西按数字分成1街、2街、3街…我们可以把大道和街建成一个坐标系，任何建筑都可以按照靠近哪个大街—大道交口来定位。比如纽约图书馆的位置位于：5大道和41街的交口。

通过构建坐标系，几何图形或者说曲线上的任何点，都可以用两个数来表达了。原本复杂的几何问题就转化成了能用公式和数字来表达的代数问题，接下来需要做的就是按照代数方法来计算。我们来看一个典型的例子。

勾股定理说直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果我们把这个直角三角形放到坐标系里，让一个锐角顶点位于原点，锐角相邻的直角边与x轴重合。我们把三角形的斜边长设为R,两直角边分别为x和y,那么对应于R,我们可以画出不同的x、y组成的很多个三角形，它们都满足关系式：

x2+y=R2,

当我们把这些三角形的另一个锐角的顶点连起来时，就得到了一个圆，而这个圆的半径就是R。

于是，我们就在代数方程和几何图形之间建立起了联系。这就是笛卡尔建立的解析几何体系，按照这种思想，任何几何曲线都可以通过建立坐标系用一个方程来表示。反过来，对于一个已有的方程，数学家也可以在坐标系内画出它的样子，一根曲线、一个曲面，或者是一个球面，从而进一步研究它的性质。比如：

y=x2,

通过在坐标系里描点、连线，我们可以得到这个方程对应的曲线，这是一根抛物线。抛物线在科学、技术、工程等领域中广泛出现。2000多年前，古希腊数学家在研究圆锥曲线时已经发现了抛物线，但只有到了解析几何，才能对抛物线进行有实用价值的定量研究。

更重要的是，笛卡尔的解析几何并不限于平面几何，而是同样适用于三维甚至多维空间。在三维空间内，我们可以在平面坐标轴的垂直方向上增加一条“z”轴，并用3组数(x,y,z)来代表空间内的每一个点。比如，我们在绘制三维城市地图时，只需在考虑建筑物位于大道和大街的位置之余，增加一个表示建筑物高度的参数。